Soal dan Pembahasan – Faktorial

Gunakan prinsip faktorial.
$\begin{aligned} \dfrac{100! \times 2}{99!} & = \dfrac{100 \times \cancel{99!} \times 2}{\cancel{99!}} \\ & = 100 \times 2 = 200 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{100! \times 2}{99!} = 200}.$
(Jawaban D)

Dengan menggunakan definisi faktorial dan sifat distributif bilangan, kita akan memperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{11!-10!}{9!} & = \dfrac{11 \cdot 10!-10!}{9!} \\ & = \dfrac{(11-1) \cdot 10!}{9!} \\ & = \dfrac{10 \cdot 10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}} \\ & = 10 \cdot 10 = 100. \end{aligned}$
(Jawaban D)

Gunakan definisi faktorial dan sifat distributif bilangan.
$$\begin{aligned} \dfrac{15!-14!}{8!-7!} & = \dfrac{15 \cdot 14!-14!}{8 \cdot 7!-7!} \\ & = \dfrac{(15-1) \cdot 14!}{(8-1) \cdot 7!} \\ & = \dfrac{\cancelto{2}{14} \cdot 14!}{\cancel{7} \cdot 7!} \\ & = \dfrac{2 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!}} \\ & = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 2 \end{aligned}$$(Jawaban D)

Perhatikan bahwa semua basis pada ekspresi di atas merupakan hasil perpangkatan dari $2$. Jadi, kita ubah semuanya menjadi berbasis $2$, lalu sederhanakan menggunakan sifat-sifat eksponen.
$$\begin{aligned} \dfrac{32^{9!}}{8^{8!}} \div (16^{9!} \cdot 64^{8!}) & = \dfrac{(2^5)^{9!}}{(2^3)^{8!}} \div ((2^4)^{9!} \cdot (2^6)^{8!}) \\ & = 2^{5 \cdot 9! -3 \cdot 8!} \div (2^{4 \cdot 9! + 6 \cdot 8!} \\ & = 2^{5 \cdot 9!-3 \cdot 8!-4 \cdot 9!-6 \cdot 8!} \\ & = 2^{(5-4)9!-(3+6)8!} \\ & = 2^{\color{red}{1 \cdot 9!}-\color{blue}{9 \cdot 8!}} \\ & = 2^{\color{red}{9!}-\color{blue}{9!}} = 2^0 = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{32^{9!}}{8^{8!}} \div (16^{9!} \cdot 64^{8!}) = 1}.$
(Jawaban B)

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{(n-1)!}{n!} & = \dfrac{\cancel{(n-1)!}}{n \cdot \cancel{(n-1)!}} \\ & = \dfrac{1}{n} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{(n-1)!}{n!} = \dfrac{1}{n}}.$
(Jawaban A)

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$\begin{aligned} (n+3)! & = 10(n+2)! \\ (n+3) \times \cancel{(n+2)!} & = 10\cancel{(n+2)!} \\ n+3 & = 10 \\ n & = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{7}.$
(Jawaban B)

Pertama, kita akan mencari nilai $n$ dengan menyelesaikan persamaan $\dfrac{n!}{(n-2)!} = 20$ menggunakan definisi faktorial.
$\begin{aligned} \dfrac{n \times (n-1) \times \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}} & = 20 \\ n(n-1) & = 20 \\ n^2-n-20 & = 0 \\ (n-5)(n+4) & = 20 \end{aligned}$
Diperoleh $n = 5$ atau $n = -4$.
Karena $n = -4$ mengakibatkan $n!$ tidak terdefinisi, maka kita ambil $n = 5$.
Jadi, nilai dari $\boxed{n^2+5n-3 = (5)^2+5(5)-3 = 47}.$
(Jawaban D)

Berdasarkan definisi faktorial, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(n+1)!}{(n-2)!} & = \dfrac{n!}{(n-4)!} \\ \dfrac{(n+1) \times \bcancel{n!}}{(n-2) \times (n-3) \times \cancel{(n-4)!}} & = \dfrac{\bcancel{n!}}{\cancel{(n-4)!}} \\ \dfrac{n+1}{(n-2)(n-3)} & = 1 \\ n+1 & = (n-2)(n-3) \\ n+1 & = n^2-5n+6 \\ n^2-6n+5 & = 0 \\ (n-5)(n-1) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $n=5$ atau $n=1$.
Karena $n=1$ mengakibatkan ekspresi $(n-2)!$ tidak terdefinisi, maka kita ambil $n = 5$. Pernyataan yang benar adalah $n=5$ merupakan bilangan prima.
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{k}{(k+1)!} & = \dfrac{k+1}{(k+1)!}-\dfrac{1}{(k+1)!} \\ & = \dfrac{\cancel{k+1}}{\cancel{(k+1)} \times k!} -\dfrac{1}{(k+1)!} \\ & = \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} + \dfrac{4}{5!} + \cdots + \dfrac{99}{100!} \\ & = \left(\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right) + \left(\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{99!}}-\dfrac{1}{100!}\right) \\ & = 1-\dfrac{1}{100!} \end{aligned}$$Catatan: Prinsip pencoretan (kanselasi) sehingga suku-sukunya saling menghilangkan seperti di atas dikenal dengan istilah Prinsip Teleskopik.
Jadi, bentuk sederhananya adalah $\boxed{1-\dfrac{1}{100!}}.$
(Jawaban A)

Tiga digit terakhir dari $N$ sama dengan tiga digit terakhir dari
$Q = (1!)^3+(2!)^3+(3!)^3+(4!)^3.$
Ini terjadi karena untuk $m > 4$, berlaku $10~|~m!$, artinya $m!$ habis dibagi $10$. Akibatnya, $1000~|~(m!)^3$.
Dengan kata lain, tiga digit terakhir dari $(5!)^3, (6!)^3$, dan seterusnya adalah $000$.
Sekarang, perhatikan bahwa
$\begin{aligned} Q & = (1!)^3+(2!)^3+(3!)^3+(4!)^3 \\ & = (1)^3 + (2)^3 + (6^3) + (24^3) \\ & = 1 + 8 + 216 + 13.824 = 14.\color{red}{049} \end{aligned}$
Jadi, tiga digit terakhir dari $N$ adalah $\overline{abc} = 049$ sehingga $\boxed{a+b+c=0+4+9=13}.$
(Jawaban E)

Misalkan:
$$\begin{aligned} x & = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + 99 \cdot 99! + 100 \cdot 100! \\ y & = 2 \cdot 1! + 3 \cdot 2! + 4 \cdot 3! + \cdots + 100 \cdot 99! + 101 \cdot 100! \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \color{red}{y}-x & = (2-1) \cdot 1! + (3-2) \cdot 2! + (4-3) \cdot 3! + \cdots + (100-99) \cdot 99! + (101-100) \cdot 100! \\ & = 1 \cdot 1! + 1 \cdot 2! + 1 \cdot 3! + \cdots + 1 \cdot 99! + 1 \cdot 100! \\ & = 1! + 2! + 3! + \cdots + 99! + 100! \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $y$ juga dapat ditulis dalam ekspresi lain, yaitu
$y = 2! + 3! + 4! + \cdots + 100! + 101!$
Sekarang, substitusi ekspresi $y$ ini ke persamaan sebelumnya (mengganti nilai $y$ yang diberi warna merah di atas).
$$\begin{aligned} \color{red}{y}-x & = 1!+2!+3!+\cdots+99!+100! \\ (2! + 3! + 4! + \cdots + 100!+101!)-x & = 1!+2!+3!+\cdots+99!+100! \\ x & = (\cancel{2!+3!+4!+\cdots+100!}+101!)-(1!+\cancel{2!+3!+\cdots+99!+100!}) \\ x & = 101!-1 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $101!$ jelas habis dibagi $101$ karena memuat faktor $101$. Ketika dikurangi $\color{blue}{1}$, maka sisa pembagiannya menjadi $101-\color{blue}{1} = 100$.
Jadi, sisa pembagian $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3!$ $+ \cdots + 99 \cdot 99! + 100 \cdot 100!$ oleh $101$ adalah $\boxed{100}.$
(Jawaban E)

Misalkan $$P = 1^2 \cdot 2! + 2^2 \cdot 3! + 3^2 \cdot 4! + \cdots + 2.025^2 \cdot 2.026!.$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} P & = \displaystyle \sum_{k=1}^{2.025} k^2(k+1)! \\ & = \sum_{k=1}^{2.025} [(k+2)^2-4(k+1)](k+1)! \\ & = \sum_{k=1}^{2.025} (k+2)^2(k+1)!-\sum_{k=1}^{2.025} 4(k+1)(k+1)! \\ & = \sum_{k=1}^{2.025} (k+2)(k+2)!-4\sum_{k=1}^{2.025} (k+1)(k+1)! \\ & = \sum_{k=3}^{2.027} k \cdot k!-4\sum_{k=2}^{2.026} k \cdot k! \\ & = \left(\sum_{k=1}^{2.027} k \cdot k!-1 \cdot 1!-2\cdot2!\right) -4\left(\sum_{k=1}^{2.026} k \cdot k!-1\cdot 1!\right). \end{aligned}$$Dengan menggunakan fakta bahwa $\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot k! = (n+1)!-1$ (dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi), didapat
$$\begin{aligned} P & = ((2.028!-1)-5)-4((2.027!-1)-1) \\ & = 2.028!-4 \cdot 2.027! + 2. \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, dapat dengan mudah diketahui bahwa sisa hasil bagi $P$ oleh $2.027$ adalah $\boxed{2}.$ Hal ini terjadi karena $2.028!$ dan $4 \cdot 2.027!$ keduanya memuat faktor $2.027$ sehingga $2.027$ membagi keduanya.
(Jawaban B)

Gunakan sifat faktorial berikut.
$\boxed{n! = n(n-1)!}$
Perhatikan bahwa $5! = 120$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(120!+1)!-(120!)!}{(120!-1)!} & = \left[(a!)!\right]^b \\ \dfrac{(120!+1)(120!)\cancel{(120!-1)!}-(120!)\cancel{(120!-1)!}}{\cancel{(120!-1)!}} & = \left[(a!)!\right]^b \\ (120!+1)!(120!)-120! & = \left[(a!)!\right]^b \\ 120!((120! + 1)-1) & = \left[(a!)!\right]^b \\ 120!(120!) & = \left[(a!)!\right]^b \\ (120!)^2 = ((5!)!)^2 & = \left[(a!)!\right]^b \end{aligned}$$Diperoleh $a = 5$ dan $b = 2$ sehingga $\boxed{(a-b)! = (5-2)! = 3! = 6}$
(Jawaban E)

Jika $P = 10 \cdot (9!)^{\frac12}$, maka $P^2 = 10^2 \cdot 9! = 10 \cdot 10!$.
Jika $Q = 9 \cdot (10!)^{\frac12}$, maka $Q^2 = 9^2 \cdot 10! = 82 \cdot 10!$.
Jika $R = (11!)^{\frac12}$, maka $R^2 = 11! = 11 \cdot 10!$.
Dengan demikian, $Q^2 > R^2 > P^2$, mengimplikasikan bahwa $\boxed{P < R < Q}.$
(Jawaban E)

Gunakan definisi faktorial untuk memperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{((3!)!)!}{3!} & = \dfrac{(6!)!}{6} = \dfrac{720!}{6} \\ & = \dfrac{720 \cdot 719!}{6} \\ & = 120 \cdot 719! = k \cdot n!. \end{aligned}$
Jelas kita tidak dapat membuat nilai $n$ lebih besar lagi karena $k$ harus tetap merupakan bilangan bulat.
—–
Catatan: Jika $k$ tidak harus bulat, maka kita bisa tuliskan menjadi
$\begin{aligned} 120 \cdot 719! & = \dfrac16 \cdot 720 \cdot 719! \\ & = \dfrac16 \cdot 720!. \end{aligned}$
Dalam hal ini, kita dapat membuat nilai $n$ membesar.
—–
Jadi, diperoleh $k = 120$ dan $n = 719$ sehingga $\boxed{k+n=120+719=839}.$
(Jawaban D)

Angka nol terakhir pada suatu bilangan ditentukan oleh banyaknya faktor bilangan $10$ yang dimuat oleh bilangan tersebut. Perhatikan bahwa faktor $10$ sendiri adalah $2$ dan $5$.
Bilangan $320!$ memuat banyak sekali faktor $2$, tetapi tidak untuk faktor $5$.
Jadi, kita hanya perlu menghitung banyaknya faktor $5$ pada bilangan $320!$.
$320!$ memiliki $\displaystyle \left \lfloor\dfrac{320}{5} \right \rfloor = 64$ suku yang habis dibagi oleh $5^1$, yaitu $5, 10, 15, 20, \cdots, 320.$
$320!$ memiliki $\displaystyle \left \lfloor\dfrac{320}{25}\right \rfloor = 12$ suku yang habis dibagi $5^2$, yaitu $25, 50, 75, \cdots, 300.$
$320!$ memiliki $\displaystyle \left \lfloor\dfrac{320}{125}\right \rfloor = 2$ suku yang habis dibagi $5^3$, yaitu $125$ dan $250$.
Banyaknya faktor $5$ secara keseluruhan adalah $64+12+2 = 78$ dan tentunya banyaknya faktor $2$ lebih dari ini.
Jadi, bilangan $320!$ dapat ditulis menjadi
$2^{78} \times 5^{78} \times \cdots = 10^{78} \times \cdots$
Dengan kata lain, ada $\boxed{78}$ angka nol terakhir pada bilangan $320!$.
(Jawaban D)

Kita akan mencari banyaknya faktor $3$ pada bilangan $75!$.
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $75!$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \left \lfloor\dfrac{75}{3} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{75}{9}\right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{75}{27} \right \rfloor \\ & = 25 + 8 + 2 = 35. \end{aligned}$
Jadi, $75!$ dapat ditulis menjadi $a \times 3^{35}$ sehingga nilai maksimum dari $b$ adalah $\boxed{35}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $4^b = 2^{2b}$.
Kita akan mencari banyaknya faktor $2$ pada bilangan $100!$.
Banyaknya faktor $2$ pada bilangan $100!$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lfloor\dfrac{100}{2}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{4}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{8}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{16}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{32}\rfloor + \lfloor\dfrac{100}{64}\rfloor \\ & = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97. \end{aligned}$$Jadi, $100!$ dapat ditulis menjadi $a \times 2^{97}$, sedangkan $2^{97} = 2^{2 \cdot 48 + 1} = 4^{48} \times 2$.
Dengan demikian, nilai maksimum dari $b$ adalah $\boxed{48}.$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa $100$ bilangan ganjil pertama dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} & 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots 197 \cdot 199 \\ & = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 199 \cdot 200}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 198 \cdot 200} \\ & = \dfrac{200!}{2^{100} \cdot 100!} \end{aligned}$
Jelas bahwa $2^{100}$ tidak memuat faktor $3$.
Dengan demikian, kita akan mencari banyaknya faktor $3$ pada $200!$, dikurangi dengan banyaknya faktor $3$ pada $100!$.
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $200!$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \left \lfloor\dfrac{200}{3} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{200}{9} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{200}{27} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{200}{81} \right \rfloor \\ & = 66 + 22 + 7 + 2 = 97. \end{aligned}$
Banyaknya faktor $3$ pada bilangan $100!$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \left \lfloor\dfrac{100}{3} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{100}{9} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{100}{27} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{100}{81} \right \rfloor \\ & = 33 + 11 + 3 + 1 = 48. \end{aligned}$
Jadi, banyaknya faktor $3$ pada hasil kali $100$ bilangan ganjil pertama adalah $\boxed{97-48=49},$ yang menunjukkan bahwa hasil kalinya habis dibagi oleh $3^{49}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$12^k = (2^2 \cdot 3)^k = 2^{2k} \cdot 3^k$.
Kita akan mencari banyaknya faktor $2$ pada bilangan $66!$.
Banyaknya faktor $2$ pada bilangan $66!$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \left \lfloor\dfrac{66}{2} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{66}{4} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{66}{8} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{66}{16} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{66}{32} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{66}{64} \right \rfloor \\ & = 33 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 64. \end{aligned}$$Selanjutnya, kita akan mencari banyaknya faktor $3$ pada bilangan $66!$, yaitu
$\begin{aligned} & \displaystyle \left \lfloor\dfrac{66}{3} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{66}{9} \right \rfloor + \left \lfloor\dfrac{66}{27} \right \rfloor \\ & = 22 + 7 + 2 = 31. \end{aligned}$
Jadi, disimpulkan bahwa $66!$ memuat faktor berikut.
$\begin{aligned} 2^{64} \cdot 3^{31} & = 4^{32} \cdot 3^{31} \\ & = 4 \cdot 4^{31} \cdot 3^{31} \\ & = 4 \cdot 12^{31} \end{aligned}$
Jadi, bilangan bulat positif terbesar $k$ sehingga $12^k$ membagi $66!$ adalah $\boxed{31}.$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 10! \\ & = 1! \cdot (1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3) \cdots (1 \cdot 2 \cdots 10) \\ & = 2^9 \cdot 3^8 \cdot 4^7 \cdot 5^6 \cdot 6^5 \cdot 7^4 \cdot 8^3 \cdot 9^2 \cdot 10 \\ & = 2^9 \cdot 3^8 \cdot 2^{14} \cdot 5^6 \cdot (2^5 \cdot 3^5) \cdot 7^4 \cdot 2^9 \cdot 3^4 \cdot (2 \cdot 5) \\ & = 2^{38} \cdot 3^{17} \cdot 5^7 \cdot 7^4 \\ & = 2^2 \cdot \color{red}{(2^3)^{12}} \cdot 3^2 \cdot \color{red}{(3^3)^5} \cdot 5 \cdot \color{red}{(5^3)^2} \cdot 7 \cdot \color{red}{7^3} \end{aligned}$$Tinjau bilangan pangkat yang ditandai dengan warna merah di atas.
Pada $(2^3)^{12}$, akan ada $12+1 = 13$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $(3^3)^5$, akan ada $5+1 = 6$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $(5^3)^2$, akan ada $2+1 = 3$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Pada $7^3$, akan ada $1+1=2$ bilangan kubik yang membagi habis bilangan tersebut.
Catatan: Selalu ditambah $1$ karena setiap bilangan di atas pasti habis dibagi oleh satu bilangan kubik yang tetap, yakni $1^3=1$.
Secara keseluruhan, ada $\boxed{13 \times 6 \times 3 \times 2 = 468}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $720 = 6!$.
Dengan demikian, $(x, y) = (6, 0)$ dan $(x, y) = (6, 1)$ memenuhi persamaan faktorial tersebut.
Selain itu, $\dfrac{720!}{719!} = 720$.
sehingga $(x, y) = (720, 719)$ juga memenuhi persamaan.
Selain itu, $720 = 10 \times 9 \times 8$. Dengan demikian,
$720 = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = \dfrac{10!}{7!}$
sehingga $(x, y) = (10, 7)$ memenuhi persamaan.
Secara keseluruhan, ada $\boxed{4}$ pasangan nilai $(x, y)$ yang memenuhi persamaan tersebut.
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $\dfrac{1}{^a \log b} = ^b \log a$.
Dengan menggunakan sifat logaritma tersebut beserta sifat penjumlahan logaritma, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{^2 \log 100!} + \dfrac{1}{^3 \log 100!} + \dfrac{1}{^4 \log 100!} + \cdots + \dfrac{1}{^{100} \log 100!} \\ & = ^{100!} \log 2 + ^{100!} \log 3 + ^{100!} \log 4 + \cdots + ^{100!} \log 100 \\ & = ^{100!} \log (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 100) \\ & = ^{100!} \log 100! = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{1}{^2 \log 100!} + \dfrac{1}{^3 \log 100!} + \dfrac{1}{^4 \log 100!}$ $+ \cdots + \dfrac{1}{^{100} \log 100!}$ sama dengan $\boxed{1}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa untuk setiap $n \geq 5,$ digit terakhir dari $n!$ bernilai $0$.
Bilangan prima meliputi: $2, 3, 5, 7, 11, \cdots$ sehingga jumlah faktorial dari $2.020$ bilangan prima pertama dinyatakan oleh
$\underbrace{2! + 3! + 5! + 7! + 11! + \cdots}_{\text{ada}~2.020~\text{suku}}$
Digit terakhir selain $2!$ dan $3!$ adalah $0$. Karena $2! = 2$ dan $3! = 6$, maka digit terakhir dari penjumlahan faktorial tersebut adalah $\boxed{2+6+0+\cdots+0= 8}.$
(Jawaban E)

Supaya $b$ bernilai terbesar, maka $n$ harus dibuat sebesar mungkin, berakibat $a$ juga demikian. Jadi, kita ambil $a = 6$, artinya $5^6$ merupakan faktor dari $n!$.
Untuk $n = 5$, salah satu faktornya adalah $5$.
Untuk $n = 10$, salah satu faktornya adalah $5^2$.
Begitu seterusnya sampai untuk $n = 25 = 5^2$, salah satu faktornya adalah $5^{5+1} = 5^6$. Dengan kata lain, $25!$ memiliki faktor $5^6$.
Sekarang, $7^b$ adalah faktor dari $25!$. Kelipatan $7$ yang kurang dari atau sama dengan $25$ adalah $\{7, 14, 21\}$. Jadi, $25!$ memiliki faktor $7^3$. Oleh karena itu, nilai $b$ terbesar adalah $\boxed{3}.$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 98! + 99! + 100! = 98!(1 + 99 + 9.900) = 98! \cdot 10.000. \end{aligned}$$Berikutnya, kita perlu mencari banyaknya faktor $5$ yang dimiliki oleh $98!$ dan $10.000.$ Pertama, banyaknya faktor $5$ yang dimiliki oleh $98!$ adalah
$$\left\lfloor \dfrac{98}{5} \right \rfloor + \left\lfloor \dfrac{98}{25} \right \rfloor = 19 + 3 = 22.$$Kedua, banyaknya faktor $5$ yang dimiliki oleh $10.000$ dapat dilihat dengan mencari faktorisasi prima dari $10.000$ sebagai berikut.
$$10.000 = 100^2 = (2^2 \cdot 5^2)^2 = 2^4 \cdot 5^4.$$Ini berarti, $10.000$ memiliki $4$ faktor $5.$ Secara keseluruhan, banyaknya faktor $5$ yang dimiliki oleh $98!$ dan $10.000$ adalah $22 + 4 = 26.$
Jadi, bilangan asli $n$ terbesar sehingga $5^n$ merupakan faktor dari hasil penjumlahan $98! + 99! + 100!$ adalah $\boxed{26}.$
(Jawaban D)

Jawaban a)
$\begin{aligned} 3!+2!+1! & = (3 \cdot 2 \cdot 1)+(2 \cdot 1)+1 \\ & = 6+2+1 =9 \end{aligned}$
Jawaban b)
Perhatikan bahwa $4! = 24$ dan $3! = 6$.
$$\begin{aligned} 4!-(3!-2!)!+3! & = 24-(6-2)!+6 \\ & = 24-4!+6 \\ & = 24-24+6 = 6 \end{aligned}$$Jawaban c)
$\begin{aligned} 4! \times 3! + 3! \times 4 & = 24 \times 6 + 6 \times 4 \\ & = 144+24=168 \end{aligned}$
Jawaban d)
$\begin{aligned} \dfrac{9!}{8!} + \dfrac{5!}{3!} & = \dfrac{9 \times \cancel{8!}}{\cancel{8!}} + \dfrac{5 \times 4 \times \cancel{3!}}{\cancel{3!}} \\ & = 9 + (5 \times 4) = 29 \end{aligned}$

Jawaban a)
$\begin{aligned} \dfrac{10!}{7!} & = n(n-1)(n-2) \\ \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!}} & = n(n-1)(n-2) \\ 10 \cdot 9 \cdot 8 & = n(n-1)(n-2) \end{aligned}$
Dari sini, disimpulkan bahwa $\boxed{n = 10}$ memenuhi persamaan tersebut.
Jawaban b)
$$\begin{aligned} \dfrac{9!}{3!} & = 5!(n-1)(n)(n+1) \\ \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \bcancel{6} \cdot \cancel{5!}}{\bcancel{3 \cdot 2}} & = \cancel{5!}(n-1)(n)(n+1) \\ 9 \cdot 8 \cdot 7 & = (n+1)(n)(n-1) \end{aligned}$$Dari sini, disimpulkan bahwa $\boxed{n = 8}$ memenuhi persamaan tersebut.

Berdasarkan definisi faktorial, kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} 10! & = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \\ & = (2 \cdot 5) \cdot 3^2 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 2 \\ & = 2^{1+3+1+2+1} \cdot 3^{2+1+1} \cdot 5^{1+1} \cdot 7 \\ & = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.  \end{aligned}$$Jadi, faktorisasi prima dari $10!$ adalah $\boxed{2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7}.$

Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 5! + 6! & = 5! + 6 \cdot 5! \\ & = (1+6) \cdot 5! \\ & = 7 \cdot 5! \end{aligned}$
Ini artinya, $7$ merupakan bilangan prima terbesar yang membagi habis $5!+6!$.
Jawaban b)
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 11! + 12! & = 11! + 12 \cdot 11! \\ & = (1+12) \cdot 11! \\ & = 13 \cdot 11! \end{aligned}$
Ini artinya, $13$ merupakan bilangan prima terbesar yang membagi habis $11!+12!$.

Perhatikan bahwa $4$ bilangan tersebut merupakan hasil kali dari $100$ bilangan bulat. Yang terbesar adalah $100^{100},$ yaitu perkalian bilangan $100$ sebanyak $100$ kali. Yang kedua terbesar adalah $100!,$ yaitu perkalian bilangan bulat $1, 2, \cdots, 100.$ Jelas bahwa nilai masing-masing bilangan bulat tersebut kurang dari atau sama dengan $100$ sehingga haruslah $100^{100} > 100!.$ Berikutnya, $(50!)^2$ menempati urutan ketiga. $(50!)^2$ adalah hasil kali dari $1^2, 2^2, \cdots, 50^2$ dan kita tahu bahwa untuk setiap bilangan asli $j,$ berlaku $j^2 < j^2 + 50j = j(50+j).$ Dalam hal ini, untuk $j = 1, 2, 3, \cdots, 50,$ hasil kali $j(50+j)$ adalah $100!$ sehingga haruslah $100! > (50!)^2.$ Bilangan terkecil adalah $2^{100},$ yaitu perkalian bilangan $2$ sebanyak $100$ kali. Jadi, urutan $4$ bilangan tersebut secara menaik adalah $$2^{100}, (50!)^2, 100!, 100^{100}.$$

Kita tuliskan $20!$ dalam bentuk faktorisasi prima.
Perhatikan bahwa $20! = 20 \times 19 \times 18 \times \cdots \times 1$.
Agar tidak terlalu panjang, kita tuliskan dulu faktorisasi prima bilangan pengali ini masing-masing.
$\begin{aligned} 20 & = 2^2 \times 5 \\ 19 & = 19 \\ 18 & = 2 \times 3^2 \\ 17 & = 17 \\ 16 & = 2^4 \\ 15 & = 3 \times 5 \\ 14 & = 2 \times 7 \\ 13 & = 13 \\ 12 & = 2^2 \times 3 \\ 11 & = 11 \\ 10 & = 2 \times 5 \\ 9 & = 3^2 \\ 8 & = 2^3 \\ 7 & = 7 \\ 6 & = 2 \times 3 \\ 5 & = 5 \\ 4 & = 2^2 \\ 3 & = 3 \\ 2 & = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 20! & = 2^{2+1+4+1+2+1+3+1+2+1} \times 3^{2+1+1+2+1+1} \times 5^{1+1+1+1} \times 7^{1+1} \times 11 \times 13 \times 17 \\ & = 2^{18} \times 3^{8} \times 5^4 \times 7^2 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \end{aligned}$$Tampak bahwa bilangan asli yang merupakan faktor prima dari $20!$ adalah $2, 3, 5, 7, 11$, $13, 17$, dan $19$. Banyaknya bilangan asli yang menjadi faktor dari $20!$ dapat dicari dengan menggunakan faktorisasi prima.

1. Perhatikan pangkat dari masing-masing faktor prima.
2. Tambahkan $1$ pada masing-masing pangkat.
3. Kalikan semuanya.

Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & (18+1) \times (8+1) \times (4+1) \times (2+1) \times (1+1)\times (1+1) \times (1+1) \times (1+1) \\ & = 19 \times 9 \times 5 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ & = 41.040. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{41.040}$ bilangan asli yang menjadi faktor dari $20!$.

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 21!-20! & = 21 \cdot 20!-20! \\ & = (21-1) \cdot 20! \\ & = 20 \cdot 20! \\ & = 20 \cdot 20 \cdot 19! \\ & = 400 \cdot 19!. \end{aligned}$
Dari sini, diperoleh bahwa $\boxed{19! = \dfrac{1}{400}(21!-20!)}$

Kita kumpulkan ekspresi yang mengandung faktorial di ruas kiri dan tinggalkan $\dfrac{1}{10!}$ di ruas kanan.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+1)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} + \dfrac{2(n+1)}{(2n+1)!} \\ \dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+1)!}-\dfrac{2(n+1)}{(2n+1)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ \dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{-2n-1}{(2n+1)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ \dfrac{1}{(2n)!}-\dfrac{\cancel{2n+1}}{\cancel{(2n+1)}(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ \dfrac{1}{(2n)!}-\dfrac{1}{(2n)!} + \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ \dfrac{1}{(2n+2)!} & = \dfrac{1}{10!} \\ (2n+2)! & = 10! \\ 2n+2 & = 10 \\ 2n & = 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $2n$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{8}.$

Perhatikan bahwa
$100^{100} = (10^2)^{100} = 10^{200},$ yang artinya $100^{100}$ memiliki $200$ angka nol. Sekarang, kita akan mencari $k$ terbesar sehingga $10^k$ membagi habis $100!$.
Karena $10^k = 2^k \cdot 5^k$ dan jelas bahwa faktor $2$ pasti lebih banyak dari faktor $5$, maka kita sebenarnya hanya perlu mencari nilai $k$ terbesar pada ekspresi $5^k$, yaitu
$\lfloor \dfrac{100}{5} \rfloor + \lfloor \dfrac{100}{25} \rfloor = 20 + 4 = 24.$
Ini berarti, $100!$ habis dibagi oleh $10^{24}.$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan $100^{100}-100! = 10^{200}-a \times 10^{24}$ untuk suatu $a$ bilangan asli.
Banyaknya angka nol dari hasil pengurangan kedua bilangan itu ditentukan oleh banyaknya angka nol pada $10^{24}$, yaitu $\boxed{24}.$
Ilustrasi:
Misalkan kita punya $10^4-34 \times 10 $ $= 10000-340 = 9660.$
Ternyata, banyaknya angka nol pada $9660$ sama dengan banyaknya angka nol pada $34 \times 10 = 340$.

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 3! \cdot 5! \cdot 7! & = (3 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2) \cdot (7 \cdot 6 \cdots 2) \\ & = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdot 6 \cdot 7 \\ & = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 5^2 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \\ & = 2^{3+4+1} \cdot 3^{3+1} \cdot 5^2 \cdot 7 \\ & = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \\ & = (2^2)^{\color{red}{4}} \cdot (3^2)^{\color{red}{2}} \cdot (5^2)^{\color{red}{1}} \cdot 7. \end{aligned}$$Perhatikan pangkat yang diberi warna merah, lalu tambahin $1$ pada masing-masingnya dan dikalikan. Kita akan memperoleh
$$(4+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1)= 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30.$$Jadi, ada $\boxed{30}$ bilangan kuadrat positif yang membagi habis $(3! \cdot 5! \cdot 7!$).

Diberikan $a, b$ bilangan bulat positif dengan $a > b$. Misalkan
$\begin{aligned}N & = \dfrac{a!}{b!} \\ & = a(a-1)(a-2)\cdots(b+1). \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $N$ merupakan hasil kali dari $a-(b+1)+1 = a-b$ bilangan asli berurutan. Andaikan kita pilih $a = 5$ dan $b = 2$, diperoleh $N = \dfrac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3.$ Bilangan ini merupakan kelipatan $4$, tetapi bukan kelipatan $8$. Jadi, $3$ adalah salah satu nilai $a-b$ yang mungkin.
Sekarang, jika $a-b = 4$, maka itu artinya $N$ merupakan hasil kali dari $4$ bilangan asli berurutan, sebut saja $p(p+1)(p+2)(p+3)$.
Jika $p$ ganjil, maka $(p+1)$ dan $(p+3)$ kelipatan $2$ dan salah satunya pasti merupakan kelipatan $4$ sehingga $N$ habis dibagi $8.$
Jika $p$ genap, maka $p$ dan $(p+2)$ kelipatan $2$ dan salah satunya pasti merupakan kelipatan $4$ sehingga $N$ habis dibagi $8$.
Dengan demikian, dapat ditarik suatu proposisi bahwa perkalian empat bilangan asli berurutan habis dibagi $8.$ Akibatnya, nilai $a-b$ terbesar agar $\dfrac{a!}{b!}$ merupakan bilangan kelipatan $4$, tetapi bukan kelipatan $8$, adalah $\boxed{3}.$

Perhatikan bahwa persamaan $$\dfrac57 = \dfrac{a_2}{2!} + \dfrac{a_3}{3!} + \dfrac{a_4}{4!} + \dfrac{a_5}{5!} + \dfrac{a_6}{6!} + \dfrac{a_7}{7!}$$ dapat ditulis dalam bentuk
$$\dfrac57 = \dfrac12 \times \left(a_2 + \dfrac13 \times \left(a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right)\right)\right).$$Kalikan $2$ pada kedua ruasnya dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{10}{7} & =a_2 + \dfrac13 \times \left(a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right)\right) \\ \color{red}{1} + \dfrac37 & = \color{red}{a_2} + \dfrac13 \times \left(a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right)\right). \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $a_2 = 1$.
Selanjutnya, tersisa
$$\dfrac37 = \dfrac13 \times \left(a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right)\right).$$Kalikan $3$ pada kedua ruas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac97 & = a_3 + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right) \\ \color{red}{1} + \dfrac27 & = \color{red}{a_3} + \dfrac14 \times \left(a_4 + \dfrac15 \times \left(a_5 + \dfrac16 \times \left(a_6 + \dfrac{a_7}{7}\right)\right)\right). \end{aligned}$$Kita peroleh $a_3 = 1.$
Dengan melanjutkan menggunakan cara seperti ini, kita akan memperoleh $a_4 = 1$, $a_5 = 0$, $a_6 = 4$, dan $a_7 = 2.$ Semua nilai $a_i$ memenuhi syarat $0 \leq a_i < i$. Dengan demikian,
$$\boxed{\begin{aligned} a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 & = 1+1+1+0+4+2 \\ & = 9. \end{aligned}}$$

Kelompokkan perkalian suku-suku barisan itu menjadi $(1! \cdot 2!)(3! \cdot 4!)\cdots(99! \cdot 100!)$. Selanjutnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} & (1! \cdot 2 \cdot 1!)(3! \cdot 4 \cdot 3!)\cdots(99! \cdot 100 \cdot 99!) \\ & = ((1!)^2 \cdot (3!)^2 \cdots (99!)^2) \cdot (2 \cdot 4 \cdots 100) \\ & = (1! \cdot 3! \cdots 99!)^2 \cdot 2^50 \cdot (1 \cdot 2 \cdots 50) \\ & = (1! \cdot 3! \cdots 99!)^2 \cdot 2^50 \cdot \color{red}{50!}. \end{aligned}$$Ekspresi $(1! \cdot 3! \cdots 99!)^2$ dan $2^{50}$ merupakan bilangan kuadrat. Dari sini, disimpulkan bahwa salah satu suku yang dapat dihilangkan adalah $\boxed{50!}.$

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} \dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!} & = \dfrac{(k+1)!-k!}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{k!((k+1)-1)}{k!(k+1)!} \\ & = \dfrac{\cancel{k!} \cdot k}{\cancel{k!} \cdot (k+1)!} \\ & = \dfrac{k}{(k+1)!}. \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat ini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2.015!} + \displaystyle \sum_{k=1}^{2.014} \dfrac{k}{(k+1)!} & = \dfrac{1}{2.015!} + \sum_{k=1}^{2.014} \left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{(1+1)!}\right)+\left(\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{(2+1)!}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2.014!}-\dfrac{1}{(2.014+1)!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \left(\dfrac{1}{1!}-\cancel{\dfrac{1}{2!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{2!}}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2.014!}}-\dfrac{1}{2.015!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2.015!} + \dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2.015!} = 1. \end{aligned}$$Catatan: Dalam prosedur di atas, kita menerapkan prinsip teleskopik, yaitu suku-sukunya dibuat saling menghilangkan.

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{k+2}{k! + (k+1)! + (k+2)!} & = \dfrac{k+2}{k! + k!(k+1) + k!(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(1 + (k+1) + (k+1)(k+2))} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(k+2)(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+2}{k!(k+2)(1 + (k+1))} \\ & = \dfrac{\cancel{k+2}}{k! \cancel{(k+2)}(k+2)} \\ & = \dfrac{1}{k!(k+2)} \\ & = \dfrac{k+1}{k!(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k+1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{(k+2)-1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{k+2}{(k+2)!}-\dfrac{1}{(k+2)!} \\ & = \dfrac{1}{(k+1)!}-\dfrac{1}{(k+2)!}. \end{aligned}$$Dengan menerapkan pernyataan di atas beserta prinsip teleskopik, kita peroleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{3}{1! + 2! + 3!} + \dfrac{4}{2! + 3! + 4!} + \cdots + \dfrac{2.001}{1.999! + 2.000! + 2.001!} \\ & = \left(\dfrac{1}{2!}-\cancel{\dfrac{1}{3!}}\right)+\left(\cancel{\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\dfrac{1}{2.000!}}-\dfrac{1}{2.001!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{2.001!} \\ & = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2.001!}.\end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{3}{1! + 2! + 3!} + \dfrac{4}{2! + 3! + 4!} + \cdots$ $+ \dfrac{2.001}{1.999! + 2.000! + 2.001!}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2.001!}}$

Dengan menggunakan definisi faktorial, sifat distributif bilangan, dan prinsip teleskopik, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{21!-21}{1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3! + \cdots + 19 \times 19!} \\ & = \dfrac{21 \times 20!-21}{(2-1) \times 1! + (3-1) \times 2! + (4-1) \times 3! + \cdots + (20-1) \times 19!} \\ & = \dfrac{21 \times (20!-1)}{(\cancel{2!}-1!)+(\bcancel{3!}-\cancel{2!})+(\cancel{4!}-\bcancel{3!})+\cdots+(20!-\cancel{19!})} \\ & = \dfrac{21 \times (\cancel{20!-1})}{\cancel{20!-1}} = 21. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\dfrac{21!-21}{1 \times 1!+2 \times 2!+3 \times 3! + \cdots + 19 \times 19!}$$ sama dengan $\boxed{21}.$

Dengan menggunakan definisi faktorial, sifat distributif bilangan, dan prinsip teleskopik, kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{100!+99!}{100!-99!} \times \dfrac{98!+97!}{98!-97!} \times \dfrac{96!+95!}{96!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2!+1!}{2!-1!} \\ & = \dfrac{100 \cdot 99! + 99!}{100 \cdot 99!-99!} \times \dfrac{98 \cdot 97! +97!}{98 \cdot 97!-97!} \times \dfrac{96 \cdot 95! +95!}{96 \cdot 95!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2 \cdot 1!+1!}{2 \cdot 1!-1!} \\ & = \dfrac{(100+1) \cdot 99!}{(100-1) \cdot 99!} \times \dfrac{(98+1) \cdot 97!}{(98-1) \cdot 97!} \times \dfrac{(96+1) \cdot 95!}{(96-1) \cdot 95!} \times \cdots \times \dfrac{(2+1) \cdot 1!}{(2-1) \cdot 1!} \\ & = \dfrac{101}{\cancel{99}} \times \dfrac{\cancel{99}}{\cancel{97}} \times \dfrac{\cancel{97}}{\cancel{95}} \times \cdots \times \dfrac{\cancel{3}}{1} \\ & = \dfrac{101}{1} = 101. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\dfrac{100!+99!}{100!-99!} \times \dfrac{98!+97!}{98!-97!} \times \dfrac{96!+95!}{96!-95!} \times \cdots \times \dfrac{2!+1!}{2!-1!}$$adalah $\boxed{101}.$

Misalkan $k$ adalah bilangan bulat positif terbesar pada serangkaian $(n-4)$ bilangan bulat positif berurutan tersebut, yaitu $\underbrace{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times k}_{\text{ada}~(n-4)~\text{suku}}.$
Karena $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$, maka jelas bahwa $k > n$ sehingga nilai $k$ terkecil adalah $n+1.$
Dengan demikian, $(n-4)$ bilangan bulat berurutan itu dimulai dari bilangan $1+5=6$, yaitu
$6 \times 7 \times 8 \times \cdots \times (n+1) = n!.$
Bila kita selesaikan persamaan tersebut (mencari nilai $n$), kita akan memperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{(n+1)!}{5!} & = n! \\ \dfrac{(n+1) \times n!}{5!} & = n! \\ n+1 & = 5! \\ n & = 5!-1 = 119. \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ terbesar adalah $119$ dan perhatikan bahwa memang $119!$ bisa ditulis menjadi $6 \times 7 \times 8 \times \cdots \times 120$ (hasil kali $115$ bilangan bulat positif berurutan).

Nilai $(a, b, c)$ pada persamaan $a! +b! =c!$ hanya dipenuhi oleh $(0,0,2), (1,0,2), (0,1,2)$, dan $(1,1,2).$ Dengan menggunakan metode kontradiksi, andaikan ada tripel $(a, b, c)$ lain yang memenuhi persamaan $a! + b! = c!$ dengan $c > 2.$ Pilih $a = b = c-1$ yang merupakan bilangan terbesar sebelum $c.$  Namun,
$$(c-1)! + (c-1)! = 2(c-1)! < c(c-1)! = c!.$$Hal ini kontradiktif dengan pengandaian bahwa ada tripel $(a, b, c)$ lain yang memenuhi persamaan $a! + b! = c!$ dengan $c > 2.$ Jadi, pengandaian salah. Disimpulkan bahwa hanya ada $4$ pasangan bilangan $(a, b, c)$ yang memenuhi persamaan $a! + b! = c!.$  

Pertama, nyatakan penjumlahan tersebut dalam notasi sigma, lalu kita sederhanakan dan terapkan prinsip teleskopik. Bentuk di atas setara dengan ekspresi berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \sum_{n=1}^{2.012} \dfrac{(n+1)+(n+2)^2}{n!+(n+1)!+(n+2)!+(n+3)!} \\ & = \sum_{n=1}^{2.012} \dfrac{n^2+5n+5}{n!(1 + (n+1) + (n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)(n+3)} \\ & = \sum_{n=1}^{2.012} \dfrac{n^2+5n+5}{n!(n^3+7n^2+15n+10)} \\ & = \sum_{n=1}^{2.012} \dfrac{\cancel{n^2+5n+5}}{n!\cancel{(n^2+5n+5)}(n+2)} \\ & = \sum_{n=1}^{2.012} \dfrac{1}{n!(n+2)} \times \color{red}{\dfrac{n+1}{n+1}} \\ & = \sum_{n=1}^{2.012} \dfrac{n+1}{(n+2)!} \\ & = \sum_{n=1}^{2.012} \dfrac{(n+2)-1}{(n+2)!} \\ & = \sum_{n=1}^{2.012} \dfrac{1}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+2)!} \\ & = \left(\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}\right)+\left(\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2.013!}-\dfrac{1}{2.014!}\right) \\ & = \dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{2.014!} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari perhitungannya adalah $\boxed{\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{2.014!}}.$